单位圆到上半平面的一一映射,z平面映射到s平面

正方形到单位圆的共形映射 2023-02-23 15:51 461 墨鱼

正方形到单位圆的共形映射

单位圆到上半平面的一一映射,z平面映射到s平面

除了可以看作是上半平面到开圆盘的双全纯映射，z↦z−iz+i还可以看作是黎曼球面CP1=C∪{∞}的上.由保角性知C2映射为第二象限的分角线C2.5 映射的角形区如图所示yiC2'1OC2xOC1'uC1v(w)(z)−1 −i 6 例2求将上半平面Im(z)>0映射成单位圆|w|<1的分式线性映射.(z)yv(w)λ -1O1x-1O i 1u

现在考虑n=3 的情形，自然是将上半平面映射成一个三角形，设被映成顶点的三个点为：0,1,+\infty ,立即得到显式：F(\zeta )=\int_{0}^{\zeta }{{{\zeta }^{{{\alpha }_{1}}-1}}{{(\z平面上的上半单位开圆在-1\to0\to1的左侧，故\xi=\xi(z)将上半单位开圆映在\xi平面上0\to1\to\infty左侧而考虑分式线性变换把圆或直线映为圆或直线，故原本的边界上半圆周被映为上半

在开单位圆盘与开上半平面之间存在共形双射。所以作为黎曼曲面，开单位圆盘(双全纯或共形等价)同构于上半平面，两者经常是可以互换的。更一般地，黎曼映射定理w = e^(ib) (z-a)/(a'-z) 其中b是任意实数，a'是a的共轭显然z=a 时，w=0 若z是实数，

可考虑分两步走1、下半平面映射到上半平面，方法有多个，比较简单的旋转180度，即z1=-z 2、上半平面映射到单位圆，这个教材上应该有介绍，较简单的w=(z1-i)/(z1+i)最后这就是保交映射的基本问题，比较一般的是归结为要找出一个解析函数，将区域D 保形地变换到单位圆内部区域的问题。另外，要求这种保形变换必须是一一对应的，因此，要求被变换的

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