正交矩阵的特征值,如何判断一个矩阵是正交矩阵

列向量乘行向量的秩等于1 2023-09-23 23:17 159 墨鱼

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正交矩阵的特征值,如何判断一个矩阵是正交矩阵

1.辨析正交矩阵的特征值2.对称自正交相似矩阵的左右逆特征值问题3.不同数域上正交矩阵的特征值4.用重正交化Lanczos法求解大型非正交归一基稀疏矩阵的特征值问题5.关于正交矩对酉矩阵肯定是成立的，因为只用到了A*·A=I,但复正交矩阵……是什么东西，有这个概念吗

-1)，第二行为(1,0)的2×2矩阵，它是正交矩阵，但是他没有实特征值，所以只有在有n个实特征值的6,对称矩阵A的特征向量是x,则xTAx是一个对角阵。PS:如果A不是对称阵，则x-1Ax是对角阵。最终结论：设A为n阶对称阵，则必有正交阵P,使得P-1AP= PTAP = Λ Λ是

证：设A是正交矩阵，λ是A的特征值，α是A的属于λ的特征向量则A^TA = E (E单位矩阵),Aα=λα,α≠0 考虑向量λα与λα的内积. 一方面，λα,λα)=λ^2(α,α)两种方法第一种有人质疑内积的定义是在R^n上的。对于复矩阵并不适合。鉴于题目范围应该为实矩阵内所以不用考虑。对于两种方法，还有一个问题就是特征值的表述，一种是定义为实数。

ˇωˇ 首先要明白矩阵的基本知识：若矩阵A的特征值为λ,则A的转置的特征值也为λ，而A的逆的特征值为1/λ.对于正交矩阵来说，矩阵的转置即为矩阵的逆，即：λ=1/λ,所以另外，正交矩阵的特征值只可能是1或-1。这是因为如果$lambda$是矩阵$A$的特征值，那么$Av=lambda v$,其中$v$是$A$的特征向量。由于正交变换不改变向量长度，因此$||v||=||Av||=|

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