六种函数极限的归结原则,函数连续与一致连续的区别与联系

六种函数极限的归结原则,函数连续与一致连续的区别与联系

定理1(惟一性)若函数f(x)在a存在极限，则它的极限是唯一的.f(x)b以及limf(x)c.由极限的证不妨设limxaxa定义，对于任意的正数0,存在正数1,2:x:0xa1 f(x)b 首先归结原则说的是lim(x→X.）f（x）存在的充要条件是对于任何含于其邻域内且以X.为极限的数列xn

⊙＾⊙ 归结原则的六种极限情形：海涅定理、数列极限、函数极限、变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系、数列极限与由归结原则可知lim ( x→0) sin (1/x)不存在.

上述定理通常称为极限的归结原则，通过归结原则，函数极限的概念完全可以从数列极限的概念去理解，函数极限的一切性质(如四则运算等)都可由数列极限的性质得到，从这个意义上来说若可说明函数极限存在，则对应数列的极限必定存在且必为函数极限的值；但若无法说明函数极限存在，或者函数极限明确不存在，则并不能依此得出数列极限不存在的结论——这种情况下依然需

关于函数极限存在的条件，既是重点也是难点。同学们需要掌握海涅(Heine)归结原则与柯西(Cauchy)收敛准则，及其证明。这两个结论都是等价的刻画，因此也可当成证注：1、归结原则可简述为：f(x)=A对任何xn→x0(n→∞)有f(xn)=A.注：2、若有以x0为极限的数列{xn}，使f(xn)不存在，或两个以x0为极限的数列{x’n}与{x”n}，使f(x’n)与f(x”n)都存在但不相等，

归结原则即海涅定理，虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。海涅定理深刻地揭示了变量变化我们首先介绍xx0这种函数极限的归结原则(也称Heine定理)。定理3.8(归结原则)。limf(x)A存在的充要条件是：对任何含于Uo(x0;')且以xx0x0为极限的数列{xn},极限limf(xn)都存